〈数学〉√(ルート)の定義を解説！そもそも何？

√2(ルート2)や√3(ルート3)とはどのような数なのでしょうか？定義からしっかり解説していきます。
また、ルートは平方根などとも密接に関係しています。

ここで早速問題です！x²=1を満たすxは何でしょうか？
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答えはx=1,-1です！正しく2つとも答えられましたか？これは、ルートや平方根を習っていなくても溶けてしまうかもしれません。

続いてまた、問題です！x²=2を満たすxは何でしょうか？
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ここで、ルートを習っていない人は「あれ、、、？」となってしまっているはずです。おそらく、x²=1の問題の結果から、答えは+とーに1つずつと考えるはずです。
では、x²=2を満たすxはおおよそいくつくらいでしょうか？
頑張って計算してみると、1.4くらいまでは出てきますか？(1.4²=1.96よりおおよそ2となる。)
しかし、正しい値を小数で求めようとすると、この計算は一生終わりません。また、小数部分に規則性も出てこないのです。

このように、2乗してn(ある数)になる数は必ずしも整数や小数で正しく表すことができないのです。つまり、新たな数を定義する必要があるのです。この数を√nと定義したのです。
つまり、x²=2を満たすxのうち、正のものを√2、負のものを-√2としたのです。

このように定義すると、x²=3を満たすxは、正のものが√3、負のものが-√3となります。
では、x²=4を満たすxは、正のものが√4、負のものが-√4と言いたくなりますよね。実はこれ、間違いではありませんが、もっと簡単にできますね。2乗して4になる数はわざわざルートを使わなくても表せます。そう、2と-2です。このような問題を解くときは必ず、ルートを使わなければ表せない数なのか、それとも整数や小数で表せるのかを考えて解かなければいけません。

このように、ルートの定義は表せない数があるからと言いましたが、実際そんな計算どこで出てくるのと思うかもしれません。そのような方は、以下の問題を解いてみてください。ルートが身近な数であると実感できるはずです。

一辺の長さが1の正方形の対角線の長さを求めよ。

この問題ですが、もちろん直角二等辺三角形の1:1:√2の性質などを使ってはいけません。
この正方形の面積を考えるのです。正方形の面積は以下の方法で求められます。
(i) 一辺の長さの2乗（一辺の長さ×一辺の長さ）
(ii) 対角線の長さの2乗÷2 (ひし形の公式：一方の対角線×もう一方の対角線÷2から導出)
問題の正方形の対角線の長さをxとすると、正方形の面積は
(i) の求め方では1²=1
(ii)の求め方ではx²/2
と出ます。これらはもちろん同じ正方形の面積なのでイコールです。
つまり、1=x²/2となります。両辺を2かけると、
2=x²
これは2乗して2になる数なのでまさに√2ではないでしょうか。（今回は長さをxと置いているので、長さとして不適切な負の-√2は考えない。）