〈数学〉 9の倍数の見分け方とその証明

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結論:各位の和が9の倍数のとき

<証明>
ある数が例えば3桁の数のときその数は0以上9以下の整数a,b,cを用いて100a+10b+cと表せる。
100a+10b+c=9(11a+b)+(a+b+c)
と式変形ができる。9(11a+b)は9の倍数なのでa+b+cが9の倍数であれば元のある数は9の倍数であるといえる。(9の倍数+9の倍数=9の倍数である。)
ある数が3桁でなくても同様に証明ができる。

<完璧な証明>
0以上の整数nを用いて、ある数の10nの位の数をanとおく。つまり、ある数a0+10a1+100a2+・・・+10nanと表す。
a0+10a1+100a2+・・・+10nan=9{a1+11a2+・・・+(10n-1)/9an}+(a0+a1+a2+・・・+an)
と式変形でき、9{a1+11a2+・・・+(10n-1)/9an}は9の倍数なのでa0+a1+a2+・・・+anが9の倍数であれば元のある数は9の倍数であるといえる。また、a0+a1+a2+・・・+anは各位の和を表している。
ちなみにnが自然数のとき10n-1が9の倍数になるということについては、数学的帰納法を用いる。(視覚的に当たり前と感じるかもしれないが、その感覚は正しい。)
(i)n=1のとき
  101-1=9より成立。
(ii)n=k(kは自然数)のとき10k-1が9の倍数になると仮定すると、n=k+1のとき、
  10k+1-1=10(10k-1)+9 となり、10k-1は仮定より9の倍数、9も9の倍数となる。
よってn=k+1のときも成立するので(i)(ii)よりすべての自然数nについて10n-1は9の倍数になる。

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