〈数IA〉毎日数学!5分で理解する数IA!#4 ~式の値~

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今日やるのは

式の値

ぱっと聞いただけではわかりにくいので、実際に問題を見てみましょう。

x+y=1、x³+y³=3のとき、x²+y²の値を求めよ。

このような時は、まずは

➀x³の式を変形し、成分を抜き出す

②x²の式も変形し、代入する

これでいけます。実際やってみましょう!

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y) であるので

x+y=1 と x³+y³=3 が与えられているので

3=(1)³-3xy(1)

よって、xy=-2/3

x²+y²=(x+y)²-2xy

    =1²-2・(-2/3)

    =7/3

このように分けながら考えていくとやりやすいです。

では、今日の一題はこちら。

x+y=1、x³+y³=3 のとき、x⁴+y⁴の値を求めよ。

解答はこちら。

まずは x⁴+y⁴ を変形してみる。

x⁴+y⁴=(x²+y²)(x²+y²)-2x²y²

    =(x²+y²)(x²+y²)-2(xy)²

となる。よって、x²+y²とxyを求めればよい

与えられているものから例題と同じようにやればよい。

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)

代入して

3=1-3xy

xy=-2/3

x²+y²=(x+y)²-2xy

    =1²-2(-2/3)

    =1+4/3

    =7/3

よって、これを最初に変形したものに代入。

x⁴+y⁴=(x²+y²)(x²+y²)-2(xy)²

    =7/3×7/3-2(-2/3)²

    =49/9-2(4/9)

    =41/9

お疲れ様でした。

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