〈数学〉共通テストプレ　解説

問題、解答は以下のリンクからどうぞ

正答率の低い問題のみ解説します。

第1問

ア～オ　単位円を考えるとわかりやすいです。cos２θ=cos３θを満たす角度２θ、θ、３θは(①）単位円上で同じ角度になるとき、または（②）単位円上で上下対称になるときです。①を式で表すと２θ＝３θ+２ｎπ（ｎは整数）②を式で表すと（２θ+３θ）/２＝ｎπ（ｎは整数）（つまり２θとθと３θの平均の角度が単位円上のｘ軸上にくればよいということ）となります。これらをそれぞれ解くと答えが出ます。

カキク　cos2θ＝２(cosθ)^２－１、cos3θ＝４(cosθ)θ^３－３cosθです。

ケ～ス　３次方程式を解く問題です。アが０と分かっているのでcos0、つまり1がこの方程式の解だとわかるので３次方程式は２次方程式にでき、あとは解の公式を使うのみです。

チ　５０＝１００/２と表せます。

テト　この不等式に底が１０の対数を取るとテト＜２２×ツ＜テト+１となります。テトは整数で２２×ツ＝１８．５９なのでテトは１８です。

ナ～ネ　テトが１８だと分かればできます。指数の不等式には直せるのに答えが１違う人が多くいます。迷ったら例えば３は１桁で１０^０＜３＜１０^１を満たす。というようにして不等号のどちらの部分の指数が答えになるのか考えてみましょう。

第２問

アイウ　アウの選択肢は⓪a=bまたはb=cまたはc=a、①a=b=c=0、②a=0またはb=0またはc=0、③a=b=c、④ab+bc+ca=0 ということをそれぞれ表しています。あとは必要条件、十分条件が分かっていれば解ける問題です。

エオ　３次関数の性質が分かっているかを問う問題です。３次関数は連続で、αとβで極値を持つということは一方が極大値をとる値、もう一方が極小値を取る値です。極小値＜極大値となるのでエはαです。また、α＜βよりこれはｘ^３の係数が負であることを表します。分からなければグラフを書いてみるとよいでしょう。

スセ　f'(x)＝０となるｘが２つ存在すればよいので判別式が正であればよい。

テトナ　解と係数の関係によりー４、α＜βよりαは負でなくてはいけない。

ニ～ヒ　　定点の問題が来たときは変数を変えるのが一般的f(x)＝ax^2(x+6)-3xより、x=0またはｘ＝－６のときはaの値に影響されずｆ(x)の値が一定となる。

ホ　ｘ＝０の点での傾きが負であるとわかったので今まで分かったことと合わせて答えが導ける。

第３問

カキ　√５の値は２．２３…というのは覚えておくとよい。ｘ≒８６．７６なので８７

セソ　a(2ｘ)=87-2ｘという式を導き出せる。ただし８７－２ｘ＞０なので、これを満たす最大のxは４３である。つまりセソ＝２ｘ＝８６

ト～ハ　a(100)=199であり、a(1)~a(100)には１～１９９すべての奇数が含まれているのでトは２、ナは１が入る。

ヒフ　この問題は場合分けが必要である。ヒフが２k(偶数）のとき、a(1)+a(2)=a(3)+a(4)=…＝a(2k-1)+a(2k)=172である。つまり、２００１が１７２の倍数かを確認すると、違うのでヒフは偶数ではない。ヒフが２k－１(奇数）のとき、a(1),a(2),…,a(2k-1)の平均値は８７となる。（a(1)=87、a(2)とa(3)の平均値は８７、……、a(2k-2)とa(2k-1)の平均値は８７。）よって、２００１÷８７＝２３なので答えは２３。

第４問

オ　内積が負なのでなす角は９０度を越えていることが分かるので鈍角三角形。

チツテ　内積は大きさ×大きさ×なす角なのでイウエと等しくなる。

トナニ　タ、チツテからわからない定数２つに対して式が２つ作れるので求められる。

ヌ　三角形OA’Bは鈍角三角形なので答えは⓪。