〈数学〉3の倍数の見分け方とその証明

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結論:各位の和が3の倍数のとき

<証明>
ある数が例えば3桁の数のときその数は0以上9以下の整数a,b,cを用いて100a+10b+cと表せる。
100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c)
と式変形ができる。3(33a+3b)は3の倍数なのでa+b+cが3の倍数であれば元のある数は3の倍数であるといえる。(3の倍数+3の倍数=3の倍数である。)
ある数が3桁でなくても同様に証明ができる。

<完璧な証明>
0以上の整数nを用いて、ある数の10nの位の数をanとおく。つまり、ある数a0+10a1+100a2+・・・+10nanと表す。
a0+10a1+100a2+・・・+10nan=3{3a1+33a2+・・・+(10n-1)/3an}+(a0+a1+a2+・・・+an)
と式変形でき、3{3a1+33a2+・・・+(10n-1)/3an}は3の倍数なのでa0+a1+a2+・・・+anが3の倍数であれば元のある数は3の倍数であるといえる。また、a0+a1+a2+・・・+anは各位の和を表している。
ちなみにnが自然数のとき10n-1が3の倍数になるということについては、数学的帰納法を用いる。(視覚的に当たり前と感じるかもしれないが、その感覚は正しい。)
(i)n=1のとき
  101-1=9より成立。
(ii)n=k(kは自然数)のとき10k-1が3の倍数になると仮定すると、n=k+1のとき、
  10k+1-1=10(10k-1)+9 となり、10k-1は仮定より3の倍数、9も3の倍数となる。
よってn=k+1のときも成立するので(i)(ii)よりすべての自然数nについて10n-1は3の倍数になる。

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