〈数学〉共通テストプレ 解説

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問題、解答は以下のリンクからどうぞ

正答率の低い問題のみ解説します。

第1問

ア~オ 単位円を考えるとわかりやすいです。cos2θ=cos3θを満たす角度2θ、θ、3θは(①)単位円上で同じ角度になるとき、または(②)単位円上で上下対称になるときです。①を式で表すと2θ=3θ+2nπ(nは整数)②を式で表すと(2θ+3θ)/2=nπ(nは整数)(つまり2θとθと3θの平均の角度が単位円上のx軸上にくればよいということ)となります。これらをそれぞれ解くと答えが出ます。

カキク cos2θ=2(cosθ)^2-1、cos3θ=4(cosθ)θ^3-3cosθです。

ケ~ス 3次方程式を解く問題です。アが0と分かっているのでcos0、つまり1がこの方程式の解だとわかるので3次方程式は2次方程式にでき、あとは解の公式を使うのみです。

チ 50=100/2と表せます。

テト この不等式に底が10の対数を取るとテト<22×ツ<テト+1となります。テトは整数で22×ツ=18.59なのでテトは18です。

ナ~ネ テトが18だと分かればできます。指数の不等式には直せるのに答えが1違う人が多くいます。迷ったら例えば3は1桁で10^0<3<10^1を満たす。というようにして不等号のどちらの部分の指数が答えになるのか考えてみましょう。

第2問

アイウ アウの選択肢は⓪a=bまたはb=cまたはc=a、①a=b=c=0、②a=0またはb=0またはc=0、③a=b=c、④ab+bc+ca=0 ということをそれぞれ表しています。あとは必要条件、十分条件が分かっていれば解ける問題です。

エオ 3次関数の性質が分かっているかを問う問題です。3次関数は連続で、αとβで極値を持つということは一方が極大値をとる値、もう一方が極小値を取る値です。極小値<極大値となるのでエはαです。また、α<βよりこれはx^3の係数が負であることを表します。分からなければグラフを書いてみるとよいでしょう。

スセ f'(x)=0となるxが2つ存在すればよいので判別式が正であればよい。

テトナ 解と係数の関係によりー4、α<βよりαは負でなくてはいけない。

ニ~ヒ  定点の問題が来たときは変数を変えるのが一般的f(x)=ax^2(x+6)-3xより、x=0またはx=-6のときはaの値に影響されずf(x)の値が一定となる。

ホ x=0の点での傾きが負であるとわかったので今まで分かったことと合わせて答えが導ける。

第3問

カキ √5の値は2.23…というのは覚えておくとよい。x≒86.76なので87

セソ a(2x)=87-2xという式を導き出せる。ただし87-2x>0なので、これを満たす最大のxは43である。つまりセソ=2x=86

ト~ハ a(100)=199であり、a(1)~a(100)には1~199すべての奇数が含まれているのでトは2、ナは1が入る。

ヒフ この問題は場合分けが必要である。ヒフが2k(偶数)のとき、a(1)+a(2)=a(3)+a(4)=…=a(2k-1)+a(2k)=172である。つまり、2001が172の倍数かを確認すると、違うのでヒフは偶数ではない。ヒフが2k-1(奇数)のとき、a(1),a(2),…,a(2k-1)の平均値は87となる。(a(1)=87、a(2)とa(3)の平均値は87、……、a(2k-2)とa(2k-1)の平均値は87。)よって、2001÷87=23なので答えは23。

第4問

オ 内積が負なのでなす角は90度を越えていることが分かるので鈍角三角形。

チツテ 内積は大きさ×大きさ×なす角なのでイウエと等しくなる。

トナニ タ、チツテからわからない定数2つに対して式が2つ作れるので求められる。

ヌ 三角形OA’Bは鈍角三角形なので答えは⓪。

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