今日やるのは
式の値！
ぱっと聞いただけではわかりにくいので、実際に問題を見てみましょう。
ｘ＋ｙ＝１、ｘ³＋ｙ³＝３のとき、ｘ²＋ｙ²の値を求めよ。
このような時は、まずは
➀ｘ³の式を変形し、成分を抜き出す
②ｘ²の式も変形し、代入する
これでいけます。実際やってみましょう！
ｘ³＋ｙ³＝(ｘ＋ｙ)³－３ｘｙ(ｘ＋ｙ) であるので
ｘ＋ｙ＝１ と ｘ³＋ｙ³＝３ が与えられているので
３＝(１)³－３ｘｙ(１)
よって、ｘｙ＝－２/３
ｘ²＋ｙ²＝(ｘ＋ｙ)²－２ｘｙ
＝１²－２・(－２/３)
＝７/３
このように分けながら考えていくとやりやすいです。
では、今日の一題はこちら。
ｘ＋ｙ＝１、ｘ³＋ｙ³＝３ のとき、ｘ⁴＋ｙ⁴の値を求めよ。
解答はこちら。
まずは ｘ⁴＋ｙ⁴ を変形してみる。
ｘ⁴＋ｙ⁴＝(ｘ²＋ｙ²)(ｘ²＋ｙ²)－２ｘ²ｙ²
＝(ｘ²＋ｙ²)(ｘ²＋ｙ²)－２(ｘｙ)²
となる。よって、ｘ²＋ｙ²とｘｙを求めればよい。
与えられているものから例題と同じようにやればよい。
ｘ³＋ｙ³＝(ｘ＋ｙ)³－３ｘｙ(ｘ＋ｙ)
代入して
３＝１－３ｘｙ
ｘｙ＝－２/３
ｘ²＋ｙ²＝(ｘ＋ｙ)²－２ｘｙ
＝１²－２(－2/3)
＝１＋４/３
＝７/３
よって、これを最初に変形したものに代入。
ｘ⁴＋ｙ⁴＝(ｘ²＋ｙ²)(ｘ²＋ｙ²)－２(ｘｙ)²
＝７/３×７/３－２(－２/３)²
＝４９/９－２(４/９)
＝４１/９
お疲れ様でした。
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