〈数学〉数列の和、漸化式について

こんにちは！数Bを習った方は数列の和の公式について暗記してる人が多いと思います。では皆さんはそれらの公式の証明ができますか？

例えば１からｎまでの２乗の和はn(n+1)(2n+1)/6で表せることなどです。これが証明できた方は、

∑^ｎ_k=1 k⁵ を計算せよと言われて解けますか？数列の和に関する公式は、覚えることも必要ですが、自分で導き方を知っておく必要があります。結論から言うと、数列の和はすべて

∑ⁿ_k=1 {f(k+1)-f(k)}　の形に式変形してしまえば解けるのです。やり方は、

∑ⁿ_k=1 {f(k+1)-f(k)}＝｛~~f(2)~~-f(1)}+{~~f(3)~~–~~f(2)}~~+・・・・+｛~~f(n)~~–~~f(n-1)~~}+{f(n+1)-~~f(n)~~}

＝f(n+1)-f(1)

という感じです。では実際にどのように∑の中身をｆ(k＋１)-f(k)のようにするかを解説します。

例えば、k² をf(k+1)-f(k)の形にしたいときはf(k)=ak³ +bk² +ck+d（a,b,c,dは定数）と置きます。ここでなぜ最高次数を１つ高い３にしたかは以下の式を見てください。k³ の項がなくなってしまうのです。つまり、f(k)の最高次数を２にしてしまうとk² の項が消え、両辺がｋに関する恒等式にならなくなってしまうのです。

k² ＝{a(k+1)³ +b(k+1)² +c(k+1)+d}-(ak³ +bk² +ck+d)

=3ak² +(3a+2b)k+(a+b+c)

となります。両辺がｋに関する恒等式になればよいので

①3a=1　②3a+2b=0 　③a+b+c=0 の３つの式が得られ、a=1/3,b=-1/2,c=1/6となります。また、この式変形の途中でｄがなくなりました。これはｄはどのような実数でも構わないという意味なので、分かりやすいようにここではｄ＝０とします。

以上のことから、f(k)=k³ /3ーk² /2+k/6と置くと、

∑^ｎ_k=1 k² =∑^ｎ_k=1{f(k+1)-f(k)}=f(n+1)-f(1)=(n+1)³ /3-(n+1)² /2+(n+1)/6-(1/3-1/2+1/6)

=n(n+1)(2n+1)/6

というように求めることができます。このようにすれば、公式を覚えていないから解けない、などということは絶対になくなるので覚えておきましょう。

では∑^ｎ_k=1 3^k はどうでしょうか。こちらのほうが簡単です。f(k)=a×３^k (aは定数）と置きます。

3^k =a×3^k+１ -a×3^k =(3a-a)3^k =2a×3^k　となって、両辺がｋに関する恒等式であることに注目するとa=1/2であることが分かります。よってｆ(k)=3^k /2と置くと、

∑^ｎ_k=1 3^k =f(n+1)-f(1)=(3ⁿ⁺¹ -3)/2 となり、公式で解いた結果と一致します。これらの式はもちろん応用が可能で、等差×等比の和などでも大活躍します。

例えば∑^ｎ_k=1 (2k+1)3^k　はf(k)=(ak+b)3^k (a,bは定数）として求めることが可能です。