〈数学〉 9の倍数の見分け方とその証明

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結論：各位の和が9の倍数のとき

<証明>
ある数が例えば3桁の数のときその数は０以上９以下の整数a,b,cを用いて100a+10b+cと表せる。
100a+10b+c=9(11a+b)+(a+b+c)
と式変形ができる。9(11a+b)は9の倍数なのでa+b+cが9の倍数であれば元のある数は9の倍数であるといえる。（9の倍数＋9の倍数＝9の倍数である。）
ある数が3桁でなくても同様に証明ができる。

<完璧な証明>
0以上の整数ｎを用いて、ある数の10ⁿの位の数をa_nとおく。つまり、ある数a₀+10a₁+100a₂+・・・+10ⁿa_nと表す。
a₀+10a₁+100a₂+・・・+10ⁿa_n=9{a₁+11a₂+・・・+(10ⁿ-1)/9a_n}+(a₀+a₁+a₂+・・・+a_n)
と式変形でき、9{a₁+11a₂+・・・+(10ⁿ-1)/9a_n}は9の倍数なのでa₀+a₁+a₂+・・・+a_nが9の倍数であれば元のある数は9の倍数であるといえる。また、a₀+a₁+a₂+・・・+a_nは各位の和を表している。
ちなみにｎが自然数のとき10ⁿ-1が9の倍数になるということについては、数学的帰納法を用いる。（視覚的に当たり前と感じるかもしれないが、その感覚は正しい。）
(i)n=1のとき
　　10¹-1=9より成立。
(ii)n=k(kは自然数)のとき10^k-1が9の倍数になると仮定すると、n=k+1のとき、
　　10^k+1-1=10(10^k-1)+9 となり、10^k-1は仮定より9の倍数、9も9の倍数となる。
よってn=k+1のときも成立するので(i)(ii)よりすべての自然数nについて10ⁿ-1は9の倍数になる。

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