〈数学〉 7の倍数の見分け方とその証明

結論1：普通に7で割った方が早い

結論2：偶数群の総和と奇数群の総和の差が7の倍数のとき

ただし1の位から順に3桁ずつに分けた3桁の数を1群、2群、・・・とする

<例>
1818968270は下３桁の270が1群、次の３桁の968が２群、818が３群、1が４群である。
偶数群の総和は968(２群)+1(４群)=969
奇数群の総和は270(１群)+818(３群)=1088
差は1088-969=119
119は７で割り切れるので（商は17）1818968270は7の倍数である。

<余談>
3桁以下については700や280,70などの7の倍数を引いたりするしか方法が無いので頑張って計算するしかありません。

<証明>
1001と999999が7で割り切れることを利用します。また求めたい数をＭとおきます。
n群の3桁の数字をa_nとおくと、元の数字Mは
M=a₁+10³a₂+10⁶a₃+…+10^3(n-1)a_n
と表せます。
ｎが偶数のとき
M={1001a₂+(a₁-a₂)}+10⁶{1001a₄+(a₃-a₄)}+…+10^3(n-2){1001a_n+(a_n-1-a_n)}
と表せ、1001は7で割り切れるので、
(a₁-a₂)+10⁶(a₃-a₄)+…+10^3(n-2)(a_n-1-a_n)
が7で割り切れればＭは7の倍数といえます。
(a₁-a₂)+10⁶(a₃-a₄)+…+10^3(n-2)(a_n-1-a_n)
=(a₁-a₂)+{999999(a₃-a₄)+(a₃-a₄)}+…+{(10^3(n-2)-1)(a_n-1-a_n)+(a_n-1-a_n)}
と式変形できる。仮にnが偶数のとき10^3(n-2)-1が7の倍数であれば
a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_n-1-a_nが7の倍数⇔Mが7の倍数（⇔は同値を表す記号）
という結論2が証明できます。

ここでnが偶数のとき10^3(n-2)-1が7の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明します。
※数学的帰納法についての記事はここをクリックしてください。
<証明>
nが偶数なのでn=2x(xは自然数)と表せます。そのため、10^6(x-1)-1(指数法則を用いて式変形しています。)が7の倍数であることを証明します。
(i)x=1のとき
10^6(x-1)-1=0
より、0は7の倍数である(詳しくはここをクリック)ので成立する。
(ii)x=kのとき10^6(k-1)-1が7の倍数であると仮定するとx=k+1のとき
10^6(k+1-1)-1=1000000{10^6(k-1)-1}+999999
{10^6(k-1)-1},999999がともに7の倍数なのでx=kが成り立つときx=k+1のときも成り立つ。
よって(i),(ii)より題意が満たされた。

これらを総合すると結論2が証明された。