こんにちは！ 今回は数学的帰納法について解説していきます！
数学的帰納法について
まずは数学的帰納法の仕組みから解説します。ある自然数nについての命題を証明したいときについて、以下のステップで証明します。
（ステップ１）
n=1 のとき命題が真である（成立する）ことを証明
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（ステップ２）
nが自然数のときn=k のとき命題が真であることを仮定し、
n=k+1のとき命題が成り立つことを証明
以上のステップで証明を進めます。
（ステップ１）で初めの数のとき（今回は1で行ったが問題によって2以上などの指定がある場合はその最小の数で行う）での成立を確認します。そのうえで（ステップ２）が証明できれば、n=1のときステップ１で確認したとおり成立し、n=2のときはステップ２においてn=1が成立するので成立するといえます。また、n=3のときはn=2が成り立っているので成立すると言えます。このように連鎖的にすべての自然数について成立するといえます。この方法を数学的帰納法といいます。
また、問題によってはn=1,n=2のときの成立を確認したうえで、n=k, n=k+1 のときを仮定してn=k+2が証明されるといった応用パターンもあるので注意が必要です。
練習問題
それでは、以上のステップを覚えた上で練習問題を解いてみましょう！！
（ステップ１）
n=1のとき101-1=9より9の倍数になっているので成立する。
（ステップ２）
kを自然数とし、n=kのとき10n-1が9の倍数であると仮定すると、n=k+1のとき、
10k+1-1=10(10k-1)+9
となり、仮定より10n-1は9の倍数かつ9も9の倍数なので、n=k+1のときも9の倍数となった。
（ステップ１）および（ステップ２）よりすべての自然数nについて10n-1は9の倍数である。
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